Title: A Shape Optimization Problem on Planar Sets with Prescribed Topology
Abstract: Abstract We consider shape optimization problems involving functionals depending on perimeter, torsional rigidity and Lebesgue measure. The scaling free cost functionals are of the form $$P(\Omega )T^q(\Omega )|\Omega |^{-2q-1/2}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>q</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math> , and the class of admissible domains consists of two-dimensional open sets $$\Omega $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>Ω</mml:mi></mml:math> satisfying the topological constraints of having a prescribed number k of bounded connected components of the complementary set. A relaxed procedure is needed to have a well-posed problem, and we show that when $$q<1/2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math> an optimal relaxed domain exists. When $$q>1/2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math> , the problem is ill-posed, and for $$q=1/2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math> , the explicit value of the infimum is provided in the cases $$k=0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math> and $$k=1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math> .