Abstract: Abstract Let w be a word in k variables. For a finite nilpotent group G , a conjecture of Amit states that $$N_w(1)\ge |G|^{k-1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mi>w</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , where for $$g\in G$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , the quantity $$N_w(g)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mi>w</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> is the number of k -tuples $$(g_1,\ldots ,g_k)\in G^{(k)}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> such that $$w(g_1,\ldots ,g_k)={g}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . Currently, this conjecture is known to be true for groups of nilpotency class 2. Here we consider a generalized version of Amit’s conjecture, which states that $$N_w(g)\ge |G|^{k-1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mi>w</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> for g a w -value in G , and prove that $$N_w(g)\ge |G|^{k-2}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mi>w</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> for finite groups G of odd order and nilpotency class 2. If w is a word in two variables, we further show that the generalized Amit conjecture holds for finite groups G of nilpotency class 2. In addition, we use character theory techniques to confirm the generalized Amit conjecture for finite p -groups ( p a prime) with two distinct irreducible character degrees and a particular family of words. Finally, we discuss the related group properties of being rational and chiral, and show that every finite group of nilpotency class 2 is rational.