Title: Sur les groupes d'holonomie homogènes de variétés à connexion affine et des variétés riemanniennes
Abstract: implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://www.numdam.org/conditions).Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d'une infraction pénale.Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/-280 -Les calculs complets sont assez longs.Pour simplifier l'exposition, nous bavons traité en détail que le cas de la liste II pour une variété V^, de dimension w, munie d'une métrique de signature h.La liste II est alors réduite à sept classes de groupes.Pour terminer, nous avons donné dans le dernier chapitre, deux séries différentes d'applications de ces résultats.Le contenu des différents chapitres est le suivant :Le chapitre ï reprend en détail les résultats d'É.Cartan sur la structure des groupes de Lie linéaires irréductibles [7], [8], [9].Lorsqu'ils sont complexes, ils s'obtiennent tous par des produits (en un sens convenable) de certains d'entre eux qui sont simples : ces derniers, appelés fondamentaux^ sont en nombre fini pour chaque structure de groupe simple.Pour parvenir aux groupes réels à variables réelles, il faut passer par l'intermédiaire des groupes réels à variables complexes.Nous explicitons ce qui se passe pour les algèbres de Lie des groupes considérés, dans les opérations précédentes (toutes les algèbres de Lie sont seulement envisagées dans ce travail en tant qu'ensembles de matrices carrées).Enfin nous montrons que la nécessité, pour le groupe OE réel à variables réelles, de laisser invariante une forme quadratique, oblige les groupes entrant dans sa composition comme produit à satisfaire l'une des conditions suivantes : laisser invariante, soit une forme d'Hermite, soit une forme quadratique, soit une a-forme extérieure.Le chapitre II donne toutes les formes possibles des algèbres de Lie 2 : d'abord dans le cas où o-ne provient pas d'un groupe fondamental, ensuite quand o-provient d'un groupe fondamental, ea examinant ceux de ces derniers qui satisfont aux conditions ci-dessus.Le chapitre III rappelle la définition des groupes d'holonomie et les résultats connus qui seront nécessaires dans la suite [l], [4], [1^>]« 11 donne ensuite la démonstration du théorème principal (th. 3 du chapitre III).A la fin du chapitre nous donnons aussi la liste analogue lorsque V est supposée être seulement une variété à connexion affine sans torsion.Le chapitre IV indique deux séries d'applications.La première est relative aux formes extérieures à dérivée covariante nulle des variétés V^ : une telle forme T(VT==O) est invariante par o-. 1 On peut donc déterminer toutes ces formes^, en particulier S0(w) et Sp(i) x Sp(/î) ne laissent\invariante aucune forme extérieure, d'où le résultat suivant : yil existe sur une variété riemannienne V une forme T non triviale telle que^r^o, V est : soit symétrique, soit réductible, soit pseudo-kàhlérienne.Nous appliquons ensuite le théorème principal à l'étude du groupe d'holonomie homogène ^V', a est la composante connexe de l'élément neutre deo" [4], donc distingué dans ^F.Une étude algébrique permet alors de calculer y/o".On en déduit, par exemple : Si une variété admet un revêtement qui est pseudo-kàhlérien, à courbure de Ricci non nulle; non localement réductible, non localement symétrique, alors cette variété admet un revêtement à deux feuillets qui est pseudo-kàhlérien.L'essentiel des méthodes utilisées a été donné dans trois Notes ( 1 ).Je suis Heureux de pouvoir exprimer ici toute ma reconnaissance à M. A. Lichnerowicz sans lequel ce travail n'aurait pas vu le jour; pour Fintérêt qu'il lui a constamment porté, pour les nombreux entretiens qu'il a bien voulu m'accorder.Je tiens aussi à remercier A. Borel pour les remarques qu'il m'a faites et dont j'ai tiré grand profit, ainsi que J. P. Serre pour tous les éclaircissements qu'il m'a donnés.Mes remerciements vont encore à MM.H. Cartan et L. Schwartz pour l'honneur qu'ils m'ont fait en voulant bien constituer le jury de cette thèse. CHAPITRE I. LES GROUPES DE LIE LINÉAIRES IRRÉDUCTIBLES.Ce chapitre comprend essentiellement deux sortes d'éléments : d'une patelles résultats d'Élie Cartan sur les groupes de Lie connexes linéaires irréductibles^ qui sont contenus dans [7] et [9] et résumés ici dans les n 08 3, 5 et 6.D'autre part, les algèbres de Lie, explicitées en matrices carrées, de quelques structures de ces groupes et quelques précisions relatives au cas où les groupes linéaires irréductibles à variables réelles laissent invariante une forme quadratique, de signature quelconque ; ceci dans les n 088 4, 7 et 8.Les n 08 1 et 2 sont consacrés à quelques rappels qui nous ont semblé utiles, Tous les groupes de Lie considérés dans ce travail seront, sauf mention expresse du contraire, supposés connexes.1. Poids dans les groupes de Lie linéaires semi-simples.-Nous appellerons groupe C-linéaire (resp.J^-linéaire) un sous-groupe de GL(w, C) [resp.GrL(/n, R)].Nous omettrons quelquefois C-linéaire ou H-linéaire lorsqu'aucune confusion ne sera possible.Soit $ un groupe de Lie complexe semi-simple C-linéaire et Q son algèbre de Lie, définie par une base ^=2j^^^-» [X-, X/]=^c^-^ (^'=i, ...,/•; X, ;ji=i, ...,w).A.(JL p -' f, D'après E. Carlan ([5], p. i3î-i32), un tel groupe est équivalent à la donnée d'un groupe de Lie complexe t, d'algèbre de Lie %, engendrée par les JC/ et les M>, et dont la structure est la suivante