Title: On automorphism group of free quadratic extensions over a ring
Abstract: Let<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$R$"><mml:mi>R</mml:mi></mml:math>be a ring with<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$1$"><mml:mn>1</mml:mn></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$\rho $"><mml:mi>ρ</mml:mi></mml:math>an automorphism of<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$R$"><mml:mi>R</mml:mi></mml:math>of order<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$2$"><mml:mn>2</mml:mn></mml:math>. Then a normal extension of the free quadratic extension<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$R\left[ {x,\rho } \right]$"><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>ρ</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>with a basis<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$\left\{ {1,x} \right\}$"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>over<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$R$"><mml:mi>R</mml:mi></mml:math>with an<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$R$"><mml:mi>R</mml:mi></mml:math>-automorphism group<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$G$"><mml:mi>G</mml:mi></mml:math>is characterized in terms of the element<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$\left( {x - \left( x \right)\alpha } \right)$"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>for<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$\alpha $"><mml:mi>α</mml:mi></mml:math>in<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$G$"><mml:mi>G</mml:mi></mml:math>. It is also shown by a different method from the one given by Nagahara that the order of<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$G$"><mml:mi>G</mml:mi></mml:math>of a Galois extension<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$R\left[ {x,\rho } \right]$"><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>ρ</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>over<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$R$"><mml:mi>R</mml:mi></mml:math>with Galois group<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$G$"><mml:mi>G</mml:mi></mml:math>is a unit in<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$R$"><mml:mi>R</mml:mi></mml:math>. When<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$2$"><mml:mn>2</mml:mn></mml:math>is not a zero divisor, more properties of<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$R\left[ {x,\rho } \right]$"><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>ρ</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>are derived.