Title: Fonctions hypergéométriques F1 et fonctions automorphes II. Groupes discontinus arithmétiquement définis
Abstract:arithm\'etiquement d\'efinis D\'edi\'e au professeur Y. Kusunoki, \'a l'occasion de son soixanti\'eme anniversaire Par Toshiaki TERADA (Regu le 4 mars, 1981) (Revis\'e le 8 ao\^ut, 1983) Introduction....arithm\'etiquement d\'efinis D\'edi\'e au professeur Y. Kusunoki, \'a l'occasion de son soixanti\'eme anniversaire Par Toshiaki TERADA (Regu le 4 mars, 1981) (Revis\'e le 8 ao\^ut, 1983) Introduction.Pour obtenir le groupe modulaire elliptique $G$ , il existe deux m\'ethodes.L'une des d\'efinitions est arithm\'etique: $G$ est le groupe de transformations lin\'eaires fractionnaires donn\'e par $G_{ar}=\{T\in GL(2, Z)|T^{*}(\begin{array}{ll}0 1-1 0\end{array})T=(\begin{array}{ll}0 1-1 0\end{array})\}$ .L'autre est analytique ou g\'eom\'etrique.En partant de deux solutions $w_{1}(x)= \int_{0}^{x}du/v$ et $w_{2}(x)= \int_{0}^{1}du/v$ (avec $v=\sqrt{u(u-x)(u-1)}$ ) de l'\'equation diff\'erentielle hyperg\'eom\'etrique $x(x-1)y'+(2x-1)y'+y/4=0$ , on a d'abord la fonction automorphe $x=\lambda(\tau)$ avec $\tau=\omega_{1}/w_{2}$ et puis en divisant le domaine fondamental par un groupe fini de transformations lin\'eaires fraction- naires, on arrive au nouveau groupe $G_{an}$ et \'a la nouvelle fonction automorphe $J(\tau)=4(\lambda^{2}-\lambda+1)^{3}/27\lambda^{2}(\lambda-1)^{2}$ .La premi\'ere d\'efinition $G_{ar}$ est tr\'es claire et il en est de m\^eme du rapport \'a la th\'eorie des nombres.Mais elle n'est pas commode pour \'etudier les g\'en\'erateurs du groupe, Ie domaine fondamental, la fonction-m\^eme ou les relations avec les courbes elliptiques.Cependant la deuxi\'eme $G_{an}$ est tout l'oppos\'e.Donc il est \'a d\'esirer qu'un groupe discontinu soit, si possible, d\'efini par ces deux m\'ethodes.Or, d'une part, quant aux groupes analytiquement d\'efinis, Schwarz [6] avait \'etabli que, lorsque $w_{1}$ et $w_{2}$ sont des solutions convenables de l'\'equation diff\'erentielle hyperg\'eom\'etriqueRead More