Title: On Decompositions of Matrices over Distributive Lattices
Abstract: Let<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow></mml:math>be a distributive lattice and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">M</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math>(<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mi>L</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">(M</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>L</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>, resp.) the semigroup (semiring, resp.) of<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi></mml:math>(<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:math>, resp.) matrices over<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow></mml:math>. In this paper, we show that if there is a subdirect embedding from distributive lattice<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow></mml:math>to the direct product<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">∏</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal"></mml:mi></mml:mrow></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math>of distributive lattices<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal"> </mml:mi><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math>, then there will be a corresponding subdirect embedding from the matrix semigroup<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">M</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>L</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>(semiring<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">M</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>L</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>, resp.) to semigroup<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">∏</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal"></mml:mi></mml:mrow></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">M</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>(semiring<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">∏</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal"></mml:mi></mml:mrow></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">M</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>, resp.). Further, it is proved that a matrix over a distributive lattice can be decomposed into the sum of matrices over some of its special subchains. This generalizes and extends the decomposition theorems of matrices over finite distributive lattices, chain semirings, fuzzy semirings, and so forth. Finally, as some applications, we present a method to calculate the indices and periods of the matrices over a distributive lattice and characterize the structures of idempotent and nilpotent matrices over it. We translate the characterizations of idempotent and nilpotent matrices over a distributive lattice into the corresponding ones of the binary Boolean cases, which also generalize the corresponding structures of idempotent and nilpotent matrices over general Boolean algebras, chain semirings, fuzzy semirings, and so forth.