Title: On a Bonnesen type inequality involving the spherical deviation
Abstract: In this paper we investigate the stability of the deviation from being a sphere with respect to the isoperimetric deficit for sets of finite perimeter satisfying a mild regularity property, giving an extension to non-convex sets of the classical Bonnesen type result of Fuglede for nearly spherical domains. In particular we prove that if a set of finite perimeter E satisfies an interior cone condition with sufficiently wide angles (cf. Definition 2.1) then we have λ H ( E ) ⩽ Φ ( D ( E ) ) , where λ H ( E ) is the deviation from a spherical shape with respect to the Hausdorff distance, D ( E ) denotes the isoperimetric deficit and Φ is an explicit function vanishing continuously at zero and depending on the dimension. Dans cet article, on étudie la stabilité de déviation par rapport à une sphère en fonction du déficit isopérimétrique pour des ensembles de périmètre fini satisfaisant une propriété de régularité légère, donnant une extension pour les ensembles non convexes du résultat classique de type Bonnesen démontré par Fuglede pour les domaines presque sphériques. En particulier, on montre que si un ensemble de périmètre fini E satisfait une condition de cône intérieur avec des angles suffisamment grands (cf. la définition 2.1), on a λ H ( E ) ⩽ Φ ( D ( E ) ) , où λ H ( E ) est la déviation da la forme sphérique par rapport à la distance de Hausdorff, D ( E ) désigne le déficit isopérimétrique et Φ est une fonction explicite continue qui tend vers zéro et dépend de la dimension.