Title: Fibres formelles d'un anneau local noethérien
Abstract:Soient A un anneau local noethérien intègre, m son idéal maximal et A' le complété de A pour la topologie m-adique.Si A est universellement japonais {EGA, Oiv, 23.1.1),ou si A est quotient d'un anneau...Soient A un anneau local noethérien intègre, m son idéal maximal et A' le complété de A pour la topologie m-adique.Si A est universellement japonais {EGA, Oiv, 23.1.1),ou si A est quotient d'un anneau de Cohen-Macaulay, A' n'a pas d'idéaux premiers associés immergés {EGA, IV, 7.6.4et 6.3.8).Nous allons construire un anneau local noethérien intègre A, de dimension 2, tel que A' possède un idéal premier associé immergé.Si A est quotient d'un anneau régulier, l'ensemble des points de Spec (A) qui vérifient la propriété (S^) est un ouvert {EGA, IV, 6.11.2) et, en désignant par K le corps des fractions de A, A'^^K.est un anneau de Gorenstein ([4], V, § 10, p. 299 et prop.10.1, p.3oo).Nous allons construire un anneau local noethérien intègre A de dimension 3 tel que l'ensemble des points de Spec (A) où l'anneau local est de Cohen-Macaulay (resp.est normal) n'est pas ouvert, et un anneau local noethérien intègre A de dimension i tel que A'^^K ne soit pas un anneau de Gorenstein.Dans ces exemples la clôture intégrale B de A est un anneau local régulier, le morphisme canonique A' -> B' est surjectif, son noyau 1 est un idéal de carré nul et l'extension A' de B' par le B'-module 1 est triviale.Aussi, nous avons dû faire précéder la construction des anneaux A-ci-dessus de quelques remarques sur la clôture intégrale d'un anneau local noethérien intègre et sur le nilradical de son complété.La terminologie et les notations utilisées sont celles des EGA.Rappelons que si A est un anneau, M un A-module et U un ouvert de S = Spec(A), on note :-M le faisceau quasi-cohérent sur S associé à M; -M(U) le module r(U, M.) des sections du faisceau M au-dessus do l'ouvert U;Read More